Компания "Академлайн"::база знаний::статьи и обзоры::теорема Котельникова

Теорема Котельникова

5.3. Теорема Котельникова.

5.3.1. Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.5.2а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.5.1, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.

Рис. 5.1. График реализации телеграфного сигнала.

а)

б)

в)

г)

Рис. 5.2. Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а – непрерывный сигнал; б – дискретный по времени (импульсный) сигнал; в – дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г – ошибка квантования

5.3.2. Сигналы с дискретным временем.

Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени. Смысл этих преобразований проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt…; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.5.2а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.5.2б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом uΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Dt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.5.2б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Для точного указания значения амплитуд импульсов может потребоваться неограниченное число десятичных знаков после запятой, т.е., значения амплитуд импульсов заполняют непрерывно некоторый интервал. Поэтому амплитуды импульсов сигнала uΔ(t) иногда называют непрерывными величинами.

5.3.3. Цифровые сигналы.

Как будет показано в дальнейшем, при передаче импульсных сигналов в электросвязи часто применяют специальное преобразование, состоящее в следующем. Предположим, что при передаче каждый импульс может иметь амплитуду лишь с разрешенным значением. Число разрешенных значений амплитуд импульсов конечно и задано. Например, на рис.5.2в разрешенные значения амплитуд пронумерованы цифрами 1, 2, 3, …; величина Δu равна разности между любыми двумя соседними разрешенными значениями амплитуд. Если истинное значение амплитуды импульса сигнала uΔ(t), подлежащее передаче, попадает между разрешенными значениями, то амплитуду передаваемого импульса принимают равной разрешенному значению, являющемуся ближайшим к истинному. Такое преобразование называют квантованием, совокупность разрешенных значений амплитуд передаваемых импульсов называют шкалой квантования, а интервал Δu между соседними разрешенными значениями – шагом квантования. Например, на рис. 2в разрешенные значения амплитуд импульсов приняты равными целым числам 0; 1; 2; 3 и образуют равномерную шкалу квантования, которая может быть продолжена и на область отрицательных значений сигнала u(t); при этом шаг квантования Δu=1.

Последовательность импульсов, полученная в результате квантования импульсов сигнала uΔ(t), также является импульсным сигналом, для которого введем обозначения uц(t). Особенность этого сигнала состоит в том, что амплитуды импульсов теперь имеют только разрешенные значения и могут быть представлены десятичными цифрами с конечным числом разрядов. Такие сигналы называют дискретными или цифровыми. Квантование приводит к ошибке квантования e(t) = uц(t) – uΔ(t). На рис.5.2г приведен пример временной диаграммы ошибки е(t). Передача цифрового сигнала uц(t) вместо сигнала uΔ(t) фактически эквивалентна передаче импульсного сигнала uΔ(t) с предварительно наложенным на него сигналом ошибки е(t), который в этом случае может рассматриваться как помеха. Поэтому е(t) часто называют помехой квантования или шумом квантования.

5.3.4. Теорема Котельникова.

Поскольку дискретные сигналы широко используют в настоящее время при передаче сообщений, а многие реальные сигналы являются непрерывными, то важно знать: можно ли непрерывные сигналы представлять с помощью дискретных; можно ли указать условия, при которых такое представление оказывается точным. Ответы на эти вопросы дает доказанная в 1933 г. советским ученым В.А.Котельниковым теорема, являющаяся одним из фундаментальных результатов теоретической радиотехники. Эта теорема формулируется следующим образом: если непрерывный сигнал u(t) имеет ограниченный спектр и наивысшая частота в спектре меньше, чем fв герц, то сигнал u(t) полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 1/(2fв) секунд.

Смысл теоремы Котельникова поясним с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.5.2а. Пусть это будет часть временной диаграммы сигнала u(t) с ограниченным спектром и с верхней граничной частотой fв. Если интервал дискретизации Δt<2 fв, то в теореме утверждается, что по значениям u(Δt), u(2Δt), u(3Δt),… можно определить точное значение сигнала u(t) для любого заданного момента времени t, находящегося между моментами отсчета. В соответствии с этой теоремой сигнал с ограниченным спектром и верхней частотой wв<=wΔ/2 можно представить рядом

, (2)

где u(nΔt), n=…-1, 0, +1,… - отсчеты мгновенных значений сигнала и(t), wΔ = 2¶fΔ , fΔ=ЅΔt – частота дискретизации по времени.

Ряд 2 имеет бесконечное число слагаемых, так что для вычисления значения сигнала u(t) в момент времени t необходимо знать значения всех отсчетов и(nΔt), n=…-1, 0, +1, … как до, так и после указанного момента t. Точное равенство в (2) достигается, только когда учитываются все слагаемые; если ограничиться конечным числом слагаемых в правой части (2), то их сумма даст лишь приближенное значение сигнала u(t).

Представление сигнала u(t) рядом (2) иллюстрируется с помощью рис.5.3, на котором изображены временные диаграммы сигнала u(t) и трех слагаемых ряда (2).

Рис.5.3. Представление сигнала с ограниченным спектром рядом Котельникова.

Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Однако, выбирая шаг дискретизации Δt достаточно малый, можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени. Например, при передаче телефонного сигнала, спектр которого неограничен, обычно принимают, что условная верхняя граничная частота fв = 3,4 кГц. В этом случае получаем, что частота дискретизации должна удовлетворять неравенству fΔ і 6,8 кГц, т.е. в одну секунду должно передаваться 6,8 тысяч отсчетов. Качество передачи речи при этом оказывается вполне удовлетворительным. Увеличение частоты дискретизации сверх указанного значения допустимо и приводит к незначительному повышению точности восстановления телефонного сигнала. Если же принять fΔ<6,8 кГц, то точность восстановления телефонного сигнала заметно падает.

Лучшие приборы:

Осциллографы DPO-3000

Новые осциллографы серии DPO3000 обеспечивают поддержку запуска и декодирования для самых популярных последовательных шин, используемых при проектировании встроенных систем. Кроме того, осциллографы этой серии обладают стандартной длиной записи 5 МБ и используют популярное средство навигации и поиска Wave Inspector™, которое упрощает поиск нужных событий. Новый портативный прибор DPO3000 упрощает отладку и устанавливает новые стандарты эффективности, цены и удобства пользования. В модельном ряду двухканальные и четырехканальные осциллографы с полосой пропускания от 100 до 500 МГц.
Металлоиcкатель ACE-250

Грунтовый металлоискатель ACE-250 предназначен для поиска металлических объектов. Имеет режим дискриминации целей, что позволяет производить поиск избирательно: монеты, золото, серебро, кольца и т. п. Он оснащен такими функциями, как установка чувствительности, исключение из поиска нежелательных объектов, а также имеет режим пин-поинтинга, в котором вы можете легко отыскать обнаруженный объект в земельном отвале. Этот простой и понятный прибор идеально подойдет тем, кто решил перенести поиск на пляж. Фиксированная настройка на грунт обеспечит спокойную работу на большинстве видов почв.
Токовые клещи АТК-4001

Этот прибор не только токовые клещи, измеряющие ток в цепи бесконтактным методом! Основным его достоинством является возможность измерения сопротивления без разрыва цепей заземления. Больше не нужно демонтировать электрооборудование, чтобы произвести замеры сопротивления. Кроме измерения сопротивления заземления, АТК-4001 позволяет измерять ток утечки и производить бесконтактную прозвонку цепи.